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%第六周习题

%6.5. 线性子空间
%6.6. 子空间的交与和
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%摘要 Week F Teaching Goal 
\newcommand{\FABSA}{线性子空间} %6.5 
\newcommand{\FABSAa}{理解线性子空间的概念。}
\newcommand{\FABSAb}{理解向量组生成的线性子空间的概念。}
\newcommand{\FABSAc}{证明线性子空间的基总可以扩充为整个线性空间的基。}

\newcommand{\FABSB}{子空间的交与和} %6.6 
\newcommand{\FABSBa}{理解两个线性子空间的交子空间与和子空间的概念。}
\newcommand{\FABSBb}{计算交子空间与和子空间的基与维数。}
\newcommand{\FABSBc}{证明和子空间的维数公式。}
\newcommand{\FABSBd}{编程实践：解析几何里的直线和平面的程序作图。}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 1
\newcommand{\FTA}{
\begin{enumerate}
\item （定义7）写出实线性空间的线性子空间的定义。
\item （定理2）判断线性空间的一个非空子集是线性子空间的方法是什么？
\end{enumerate} 
}

%\item % 1a
\newcommand{\FTAsol}{
{\color{red}解答：  
\begin{enumerate}
\item  {\color{red}线性子空间：一个非空子集，在全空间的两种运算下也构成一个线性空间。}
\item  {\color{red}判断方法：这个非空子集在全空间的两种运算下的结果仍在这个子集内。}
\end{enumerate} 
}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 2
\newcommand{\FTB}{
\begin{enumerate}
\item  什么是零子空间？什么是非平凡的线性子空间？
\item  证明实系数多项式函数组成的子集，在全体实函数的线性空间里，是一个线性子空间。
\item  证明次数小于 $n$ 的多项式组成的子集，在全体多项式的线性空间里，是一个线性子空间。
\item  证明齐次线性方程组的解集，是一个线性子空间。
\end{enumerate} 
}

%\item % 2a
\newcommand{\FTBsol}{
{\color{red}解答：  
只有零向量的子集、既不是零子空间又不是全空间、验证这三个子集在线性运算下的结果仍在这三个子集内。
}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item  %3
\newcommand{\FTC}{
在线性空间 \( V= \mathbb{R}^4 \) 中，求由齐次方程组确定的解空间的基与维数：
\[
\begin{cases}
3x_1 + 2x_2 - 5x_3 + 4x_4 = 0, \\
3x_1 - x_2 + 3x_3 - 3x_4 = 0, \\
3x_1 + 5x_2 - 13x_3 + 11x_4 = 0.
\end{cases}
\]

}

%\item % 3a
\newcommand{\FTCsol}{
{\color{red}解答：初等行变换化为行最简形， 
\begin{eqnarray*}
A=\begin{pmatrix}
3&2&-5&4 \\ 
3&-1&3&-3 \\ 
3&5&-13&11 \\ 
\end{pmatrix}
\to 
\begin{pmatrix}
1&0&1/9&-2/9 \\ 
0&1&-8/3&7/3 \\ 
0&0&0&0 \\ 
\end{pmatrix}
\end{eqnarray*}
求出基础解系
\begin{eqnarray*}
\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix}
=x_3\begin{pmatrix} -1/9 \\ 8/3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}
+x_4\begin{pmatrix} 2/9 \\ -7/3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix},
\end{eqnarray*}
其中 $x_3,x_4$ 是任意实数。
取整数倍，选两个向量
\begin{eqnarray*}
\eta_1=\begin{pmatrix} -1 \\ 24 \\ 9 \\ 0 \end{pmatrix}
\eta_2=\begin{pmatrix} 2 \\ -21 \\ 0 \\ 9 \end{pmatrix},
\end{eqnarray*}
则 $\eta_1,\eta_2$ 是解空间的一组基。解空间的维数是2. 

%\begin{verbatim}
%> library(pracma)
%> library(MASS)
%> A=matrix(c(3,2,-5,4,3,-1,3,-3,3,5,-13,11),nrow=3,byrow=T)
%> A
%     [,1] [,2] [,3] [,4]
%[1,]    3    2   -5    4
%[2,]    3   -1    3   -3
%[3,]    3    5  -13   11
%> fractions(rref(A))
%     [,1] [,2] [,3] [,4]
%[1,]    1    0  1/9 -2/9
%[2,]    0    1 -8/3  7/3
%[3,]    0    0    0    0
%>
%\end{verbatim}

}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 4
\newcommand{\FTD}{
\begin{enumerate}
\item  （定理3）证明两个向量组生成相同的子空间的充分必要条件是这两个向量组等价。
\item  证明一个向量组生成的子空间的维数等于这个向量组的秩。
\end{enumerate} 
}

%\item % 4a
\newcommand{\FTDsol}{
{\color{red}解答：  
\begin{enumerate}
\item  {\color{red}“生成的子空间”的定义。向量组等价的定义。}
\item {\color{red}向量空间的维数的定义。向量组的秩的定义。}
\end{enumerate} 
}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 5
\newcommand{\FTE}{
（定理4）有限维线性空间的子空间的每个基都能扩充成全空间的一个基。
}

%\item % 5a
\newcommand{\FTEsol}{
{\color{red}解答：  
选取不属于子空间的向量，加进来，证明扩充的向量组仍线性无关。
}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 6
\newcommand{\FTF}{
（定理5）两个线性子空间的交集也是一个线性子空间。
}

%\item % 6a
\newcommand{\FTFsol}{
{\color{red}解答：  
验证线性子空间的判断条件：线性运算的结果仍在该子集。
}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 7
\newcommand{\FTG}{
\begin{enumerate}
\item  （定义8）两个线性子空间的和的定义是什么？
\item  （定理6）两个线性子空间的和也是一个线性子空间。
\end{enumerate} 
}

%\item % 7a
\newcommand{\FTGsol}{
{\color{red}解答：  
\begin{enumerate}
\item  {\color{red}两个线性子空间的和不是简单的并集。}
\item  {\color{red}验证线性子空间的判断条件：线性运算的结果仍在该子集中。}
\end{enumerate} 
}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 8
\newcommand{\FTH}{
\begin{enumerate}
\item  三维空间中的过原点的直线与平面，根据不同的位置关系，求它们的交与和。
\item  两个齐次线性方程组的解空间的交集是哪个线性方程组的解集？
\item  分别由两个向量组生成的两个线性子空间的和子空间，求一组生成元。
\end{enumerate} 
}

%\item % 8a
\newcommand{\FTHsol}{
{\color{red}解答：  
\begin{enumerate}
\item  {\color{red}两种情况：直线属于平面、直线与平面的交集只有原点。}
\item  {\color{red}例如：两个平面的交集可能是一条直线。联系直线方程。}
\item  {\color{red}将这两个向量组并起来。}
\end{enumerate} 
}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item  %9
\newcommand{\FTI}{
如果 \( c_1 \alpha + c_2 \beta + c_3 \gamma = 0 \)，且 \( c_1, c_3 \neq 0 \)，证明：\( L(\alpha, \beta) = L(\beta, \gamma).  \)
}

%\item % 9a
\newcommand{\FTIsol}{
{\color{red}解答：“生成的子空间”的定义。

证明等号两边的集合包含相同的向量。  
}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 10
\newcommand{\FTJ}{
（定理7）设 $V_1,V_2$ 是两个有限维子空间，则有维数公式： 
$$\dim (V_1+V_2) = \dim V_1 + \dim V_2 - \dim (V_1\cap V_2). $$
}

%\item % 10a
\newcommand{\FTJsol}{
{\color{red}解答：  
从交子空间的一组基出发，分别扩充成 $V_1$ 与 $V_2$ 的一组基。然后找出 $V_1+V_2$ 的一组基。
}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 11
\newcommand{\FTK}{
设 $n$ 维线性空间中有两个子空间的维数的和大于 $n$, 则这两个子空间有公共的非零向量。
}

%\item % 11a
\newcommand{\FTKsol}{
{\color{red}解答：考虑维数公式。
}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item  %12
\newcommand{\FTL}{
在 \( \mathbb{R}^4 \) 中，求由向量 \( \alpha_i (i=1,2,3,4) \) 生成的子空间的基与维数，其中
\[
\begin{cases}
\alpha_1 = (2,1,3,1), \\
\alpha_2 = (1,2,0,1), \\
\alpha_3 = (-1,1,-3,0), \\
\alpha_4 = (1,1,1,1). 
\end{cases}
\]
}

%\item % 12a
\newcommand{\FTLsol}{
{\color{red}解答：  
求这个向量组的一个极大线性无关组。
\begin{eqnarray*}
A= (\alpha_1^T, \alpha_2^T, \alpha_3^T, \alpha_4^T)
= \begin{pmatrix}
2&1&-1&1 \\ 
1&2&1&1 \\ 
3&0&-3&1 \\ 
1&1&0&1 \\ 
\end{pmatrix}
\to 
\begin{pmatrix}
1&0&-1&0 \\ 
0&1&1&0 \\ 
0&0&0&1 \\ 
0&0&0&0 \\ 
\end{pmatrix}. 
\end{eqnarray*}
因此 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_4$ 是一个极大线性无关组。子空间 $L(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4)$ 的一组基可以取为 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_4$， 维数是3. 

%\begin{lstlisting}[language=R]
%> A=matrix(c(2,1,-1,1,1,2,1,1,3,0,-3,1,1,1,0,1),nrow=4,byrow=T)
%> A
%     [,1] [,2] [,3] [,4]
%[1,]    2    1   -1    1
%[2,]    1    2    1    1
%[3,]    3    0   -3    1
%[4,]    1    1    0    1
%> fractions(rref(A))
%     [,1] [,2] [,3] [,4]
%[1,]  1    0   -1    0  
%[2,]  0    1    1    0  
%[3,]  0    0    0    1  
%[4,]  0    0    0    0  
%> 
%\end{lstlisting}

}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 13
\newcommand{\FTM}{
求由向量 \( \alpha_i \) 生成的子空间与由向量 \( \beta_i \) 生成的子空间的交的基和维数，其中
\[
\begin{cases}
\alpha_1 = (1,2,-1,-2), \\
\alpha_2 = (3,1,1,1), \\
\alpha_3 = (-1,0,1,-1), 
\end{cases}
\hspace{0.5cm}
\begin{cases}
\beta_1 = (2,5,-6,-5), \\
\beta_2 = (-1,2,-7,3).
\end{cases}
\]
}

%\item % 13a
\newcommand{\FTMsol}{
{\color{red}解答：  
这两个线性子空间的交集的一般元素可以写成 $\xi = k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+k_3\alpha_3 = m_1\beta_1 +m_2\beta_2$. 
写成线性方程组的形式，可得 
\begin{eqnarray*}
(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \beta_1, \beta_2) 
\begin{pmatrix}
k_1 \\ k_2 \\ k_3 \\ -m_1 \\ -m_2 \\ 
\end{pmatrix} =\theta,
\end{eqnarray*}
其中 $\theta$ 是零向量。
写成矩阵形式，可得
\begin{eqnarray*}
\begin{pmatrix}
1&3&-1&2&-1 \\ 
2&1&0&5&2 \\ 
-1&1&1&-6&-7 \\ 
-2&1&-1&-5&3 \\ 
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
k_1 \\ k_2 \\ k_3 \\ -m_1 \\ -m_2 \\ 
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 
\end{pmatrix}. 
\end{eqnarray*}
将系数矩阵用初等行变换化为行最简形，可得
\begin{eqnarray*}
\begin{pmatrix}
1&3&-1&2&-1 \\ 
2&1&0&5&2 \\ 
-1&1&1&-6&-7 \\ 
-2&1&-1&-5&3 \\ 
\end{pmatrix}
\to 
\begin{pmatrix}
1&0&0&3&0 \\ 
0&1&0&-1&0 \\ 
0&0&1&-2&0 \\ 
0&0&0&0&1 \\ 
\end{pmatrix}.
\end{eqnarray*}
由此可得一个基础解系
\begin{eqnarray*}
\begin{pmatrix}
k_1 \\ k_2 \\ k_3 \\ -m_1 \\ -m_2 \\ 
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
-3 \\ 1 \\ 2 \\ 1 \\ 0 \\ 
\end{pmatrix}. 
\end{eqnarray*}
因此交子空间是1维的，其生成元即一组基为
\begin{eqnarray*}
\xi &=& k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+k_3\alpha_3 = m_1\beta_1 +m_2\beta_2 \\ 
&=& -3\alpha_1+\alpha_2+2\alpha_3 = \beta_1. 
\end{eqnarray*}

%\begin{lstlisting}[language=R]
%> A=matrix(c(1,3,-1,2,-1,2,1,0,5,2,-1,1,1,-6,-7,-2,1,-1,-5,3),nrow=4,byrow=T)
%> A
%     [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
%[1,]    1    3   -1    2   -1
%[2,]    2    1    0    5    2
%[3,]   -1    1    1   -6   -7
%[4,]   -2    1   -1   -5    3
%> rref(A)
%     [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
%[1,]    1    0    0    3    0
%[2,]    0    1    0   -1    0
%[3,]    0    0    1   -2    0
%[4,]    0    0    0    0    1
%> 
%\end{lstlisting}


}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item  %14
\newcommand{\FTN}{
设 \( A \in \mathbb{R}^{n \times n} \)。
\begin{enumerate}
    \item 证明：全体与 \( A \) 可交换的矩阵组成 \( \mathbb{R}^{n \times n} \) 的一个子空间，记作 \( C(A) \)；
    \item 当 \( A = E \) 时，求 \( C(A) \)；
    \item 当
    \(
    A = \mathrm{diag}\{1,2,\cdots,n\}
%    \begin{pmatrix}
%    1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
%    0 & 2 & 0 & \cdots & 0 \\
%    \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
%    0 & 0 & 0 & \cdots & n
%    \end{pmatrix}
    \)
    为对角阵时，求 \( C(A) \) 的维数和一组基。
\end{enumerate}
}

%\item % 14a
\newcommand{\FTNsol}{
{\color{red}解答：  

验证线性子空间的判断条件。

写出集合 $C(A)$ 中的元素的一般形式。
}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item  %15 
\newcommand{\FTO}{
设 \( V_1, V_2 \) 都是线性空间 \( V \) 的子空间，且 \( V_1 \subseteq V_2 \)，证明：如果 \( \dim V_1 = \dim V_2 \), 那么 \( V_1 = V_2 \)。
}

%\item % 15a
\newcommand{\FTOsol}{
{\color{red}解答：根据维数的定义，它是一组基里包含的向量个数。  
}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item  %16
\newcommand{\FTP}{
求线性空间 \( V=\mathbb{R}^{3 \times 3} \) 中全体与 \( A \) 可交换的矩阵所成子空间的维数和一组基，其中  
\[
A = 
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
3 & 1 & 2 
\end{pmatrix}. 
\]
}

%\item % 16a
\newcommand{\FTPsol}{
{\color{red}解答：写出这个子空间的元素的一般形式。  
}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item  %17
\newcommand{\FTQ}{
在线性空间 \( V=\mathbb{R}^4 \) 中，求由向量 \( \alpha_i (i=1,2,3,4) \) 生成的子空间的基与维数，其中
\[
\begin{cases}
\alpha_1 = (2,1,3,-1), \\
\alpha_2 = (-1,1,-3,1), \\
\alpha_3 = (4,5,3,-1), \\
\alpha_4 = (1,5,-3,1).
\end{cases}
\]
}

%\item % 17a
\newcommand{\FTQsol}{
{\color{red}解答：  求出这个向量组的一个极大线性无关组。
}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item  %18
\newcommand{\FTR}{
求由向量 \( \alpha_i \) 生成的子空间与由向量 \( \beta_i \) 生成的子空间的交的基和维数，其中
\[
\begin{cases}
\alpha_1 = (1,2,1,0), \\
\alpha_2 = (-1,1,1,1),
\end{cases}
\hspace{0.3cm}
\begin{cases}
\beta_1 = (2,-1,0,1), \\
\beta_2 = (1,-1,3,7). 
\end{cases}
\]
}

%\item % 18a
\newcommand{\FTRsol}{
{\color{red}解答：写出交集里的元素的一般形式。  
}
}


